オイラーの公式とフェーザ — 交流回路が複素数で解ける理由

コイルやコンデンサを含む回路は、本来は微分方程式で解く必要があります。ところが電気回路の授業では、$j\omega L$ や $\dfrac{1}{j\omega C}$ を使った複素数の計算だけで答えが出ます。その仕組みの中心にあるのがオイラーの公式です。

オイラーの公式

テイラー展開の $e^x$ に $x = j\theta$ を代入して、$j^2 = -1$ を使って実部と虚部に分けると確かめられます。

$$e^{j\theta} = \Bigl(1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \cdots\Bigr) + j\Bigl(\theta - \frac{\theta^3}{3!} + \cdots\Bigr) = \cos\theta + j\sin\theta$$

図形的には、$e^{j\theta}$ は複素平面の単位円上で、角度 $\theta$ の位置にある点です。$\theta = \omega t$ とすれば、角速度 $\omega$ で回り続ける点になります。

正弦波を回転する矢印として扱う

交流電圧 $v(t) = V_m\cos(\omega t + \phi)$ は、回転する矢印の実部として書けます。

$$v(t) = \mathrm{Re}\bigl[\,V_m e^{j\phi}\, e^{j\omega t}\,\bigr]$$

回路の中の電圧・電流はすべて同じ $\omega$ で回るので、$e^{j\omega t}$ は共通です。そこで変わる部分だけを取り出した複素数

$$\dot V = V_m e^{j\phi}$$

をフェーザと呼びます。振幅と位相をひとつの複素数で持っているわけです。

微分が掛け算になる

フェーザが便利な最大の理由はこれです。

$$\frac{d}{dt} e^{j\omega t} = j\omega\, e^{j\omega t}$$

時間で微分することが、$j\omega$ を掛けることに置き換わります。コイルの $v = L\dfrac{di}{dt}$ は $\dot V = j\omega L\,\dot I$ に、コンデンサの $i = C\dfrac{dv}{dt}$ は $\dot V = \dfrac{1}{j\omega C}\dot I$ になります。

素子	時間領域	インピーダンス
抵抗	$v = Ri$	$R$
コイル	$v = L\,di/dt$	$j\omega L$
コンデンサ	$i = C\,dv/dt$	$1/(j\omega C)$

微分方程式が、オームの法則と同じ形の割り算になる。これが「交流回路が複素数で解ける理由」です。

例題

インピーダンスは $Z = 3 + 4j$ で、$|Z| = 5$。電圧のフェーザは $\dot V = 10$ なので

$$\dot I = \frac{10}{3 + 4j} = \frac{10(3 - 4j)}{25} = 1.2 - 1.6j$$

大きさは $|\dot I| = 2$、偏角は $\arctan(-1.6/1.2) \approx -53.1^\circ$。したがって

$$i(t) = 2\cos(\omega t - 53.1^\circ)\ \mathrm{A}$$

電流が電圧より 53.1° 遅れる、というコイルを含む回路らしい結果が、割り算1回で出ました。

まとめ

• $e^{j\omega t}$ は複素平面を回る点で、その実部が正弦波
• フェーザは振幅と位相をまとめた複素数
• 微分が $j\omega$ 倍になるので、回路の微分方程式が複素数の代数計算になる