テイラー展開と線形近似 — 小信号近似はこうして作られる

電子回路の授業では、ダイオードやトランジスタのような非線形素子を「小信号では抵抗とみなす」と習います。これを正当化しているのがテイラー展開の1次の項で打ち切るという操作、つまり線形近似です。

線形近似

関数 $f(x)$ を、ある点 $x_0$ のまわりで少しだけ動かすと

$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$$

と近似できます。グラフで言えば、曲線を $x_0$ での接線に置き換えることです。$\Delta x$ が小さいほど曲線と接線のずれは小さくなります。

テイラー展開

1次で足りなければ、2次、3次と項を足していきます。

工学で頻繁に使うのは次の4つです。覚えておくと計算が一気に速くなります。

$$\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{6} + \cdots \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2} + \cdots \\ (1+x)^a &= 1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + \cdots \end{aligned}$$

例：ダイオードの小信号抵抗

線形近似から $\Delta I \approx \dfrac{dI}{dV}\Delta V$ です。$e^{V/V_T}$ の微分は $\dfrac{1}{V_T}e^{V/V_T}$ なので

$$\frac{dI}{dV} = \frac{I_S e^{V/V_T}}{V_T} = \frac{I_D}{V_T} \qquad\Longrightarrow\qquad r_d = \frac{V_T}{I_D} = \frac{26\ \mathrm{mV}}{1\ \mathrm{mA}} = 26\ \Omega$$

指数関数という強い非線形性を持つ素子が、動作点のまわりでは 26 Ω の抵抗としてふるまう、というのが小信号モデルの正体です。

近似はどこまで使えるか

捨てた2次の項が、誤差の目安になります。$e^x \approx 1 + x$ なら誤差はおよそ $x^2/2$ です。ダイオードの場合 $x = \Delta V / V_T$ なので、$\Delta V$ が $V_T$ の1割（約 2.6 mV）なら誤差は1次の項の約5%。「小信号」とは $V_T$ に比べて十分小さい信号という意味だと分かります。

振り子の $\sin\theta \approx \theta$ も同じです。$\theta = 10^\circ = 0.1745\ \mathrm{rad}$ では $\sin\theta = 0.1736$ で、ずれは約0.5%。次の項 $\theta^3/6$ から見積もれます。

まとめ

• 線形近似は「動作点での接線」に置き換えること
• 小信号モデル、振り子、誤差伝播はすべてこの近似
• 捨てた次の項の大きさで、近似が使える範囲を見積もれる

テイラー展開は、複素関数のオイラーの公式の証明にもそのまま使います。