固有値・固有ベクトル — 連立微分方程式を「ばらばらに」解く道具

授業で固有値を習うと、たいてい「$\det(A-\lambda I)=0$ を解け」という計算から始まります。でも工学で固有値が出てくる理由はひとつで、絡み合った変数をほどいて、1変数ずつの問題に分けられるからです。

絡み合ったシステムの例

2つのタンクの水位、2つのコンデンサの電圧、2つの質点の位置。こうした量 $x_1, x_2$ がお互いに影響し合うと、次のような連立微分方程式になります。

$$\frac{d}{dt}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}$$

$x_1$ の変化に $x_2$ が、$x_2$ の変化に $x_1$ が入っているので、片方だけを取り出して解くことはできません。まとめて $\dot{\boldsymbol x} = A\boldsymbol x$ と書きます。

もし $A$ が対角行列なら話は簡単で、$\dot x_1 = a x_1$ と $\dot x_2 = b x_2$ を別々に解けば $x_1 = c_1 e^{at}$、$x_2 = c_2 e^{bt}$ です。固有値・固有ベクトルは、うまい座標を選んで $A$ を対角行列に見せるための道具です。

定義

$A$ をかけても向きが変わらず、$\lambda$ 倍に伸び縮みするだけの方向が固有ベクトルです。式を変形すると $(A-\lambda I)\boldsymbol v = \boldsymbol 0$ で、$\boldsymbol v \neq \boldsymbol 0$ の解があるためには

$$\det(A - \lambda I) = 0$$

が必要です。これを特性方程式と呼びます。

例題で解いてみる

1. 固有値を求める。

$$\det\begin{pmatrix} -3-\lambda & 1 \\ 1 & -3-\lambda \end{pmatrix} = (\lambda+3)^2 - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda = -2,\ -4$$

2. 固有ベクトルを求める。

$\lambda = -2$ のとき $(A+2I)\boldsymbol v = \boldsymbol 0$ は $-v_1 + v_2 = 0$ なので $\boldsymbol v_1 = (1, 1)^{\mathsf T}$。 $\lambda = -4$ のとき $v_1 + v_2 = 0$ なので $\boldsymbol v_2 = (1, -1)^{\mathsf T}$。

3. 一般解を書く。 固有ベクトルの方向では、システムは1変数の $\dot y = \lambda y$ と同じふるまいをします。だから

$$\boldsymbol x(t) = c_1 e^{-2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-4t}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$

4. 初期値で定数を決める。 $c_1 + c_2 = 1$、$c_1 - c_2 = 0$ より $c_1 = c_2 = \tfrac12$。

$$x_1(t) = \frac{e^{-2t} + e^{-4t}}{2}, \qquad x_2(t) = \frac{e^{-2t} - e^{-4t}}{2}$$

工学的な読み方

固有ベクトル $(1,1)$ は「2つが同じ向きに動く」モード、$(1,-1)$ は「逆向きに動く」モードです。固有値はそれぞれのモードの減衰の速さで、時定数に直すと $\tau = 1/|\lambda|$ なので 0.5 と 0.25 です。逆向きのモードの方が2倍速く消える、と式を見るだけで分かります。

まとめ

• 固有値は「$A$ をかけても向きが変わらない方向」の伸び率
• 固有ベクトルの方向に分解すると、連立微分方程式が1変数の方程式の集まりになる
• 固有値の実部の符号で、安定か発散かが決まる

演習PDFでは、対角化と、2階の微分方程式を行列で書き直す問題も扱っています。